Gruppen und Ringe: Aufgaben

Hallo!

Bei den folgenden Aufgaben habe ich einige Probleme und bin für alle Hinweise, Hilfen und Anmerkungen dankbar:

Meine Ideen soweit:

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Bin über jede Anmerkung froh!

Gruß,
Markus

Na da hast du uns ja anscheinend gleich mit nem ganzen Übungsblatt eingedeckt. Zu welcher Vorlesung gehört es denn?

1. Du hast alle abelschen angegeben. Es gibt noch zwei nichtabelsche (die Quaternionengruppe und eine Diedergruppe). Die Klassifikation durch Untersuchung von Verknüpfungstafeln ist etwas mühsam und korrektor-unfreundlich, aber im Prinzip von Hand durchführbar. Vor allem die Assoziativität ist ekelig.

2. Auch hier haben konjugierte Elemente die gleichen Zyklenstruktur, aber nach deiner Vermutung gilt die Umkehrung nicht. Weiter weiß ich nicht.

3. Faktorringe schreibt man nicht als Bruch. Der Ring wird genau so geschrieben.

a) Es fallen alle Vielfache von 3x^2 weg. Das schließt z.B. 3x^3 und -18x^5+3x^4 ein, aber weder x^3 noch 3x^2 + 1 noch 5x^2. Jedoch lassen sich die letzten zwei mod 3x^2 reduzieren. Du hast aber recht, dass trotzdem unendlich viele Äquivalenzklassen "übrig bleiben".

b) Schau in die Definition des Polynomrings: Die Exponenten sind natürliche Zahlen.

c) Im Prinzip kannst du "erst mod 3x^2 und dann mod x^3" rechnen. Z.B. ist .

4. Der Schnitt zweier Ideale ist stets ein Ideal. Du müsstest sogar den Erzeuger angeben können (Stichwort: kgV). Die Vereinigung ist nicht immer ein Ideal, vielleicht ist aber das von der Vereinigung erzeugte Ideal gemeint - also das Summenideal. Das wird vom ggT erzeugt.

5. Gefragt ist, ob (man beachte die geschweifte Klammer um den Exponenten) ein Integritätsring ist. Welche Eigenschaften eines Integritätsrings könnte dieser Ring denn noch verletzen? Immerhin ist es bereits ein kommutativer Ring mit 1.

Gruß,
Christian

Hallo!

Das stammt aus einer Vorlesung zur Einführung in die Algebra. Aber nicht an der LMU. Ich hoffe, das stört weiter niemanden? Leider handelt es sich nur um das halbe Aufgabenblatt. Insgesamt sind es 10 Aufgaben.

Vielen Dank erstmal für die Hinweise! Das hat mir schon sehr geholfen. Besonders die wahrhaft simple Bedeutung von modulo Rechnungen in Polynomen... Da hätte man wirklich selber drauf kommen können, es ist ja ein eins zu eins Übertragung eigtl. Naja, vieles muß einem eben erstmal gesagt werden... Dafür finde ich an Algebra das Schöne, daß man das dann eigtl. immer weiß, wenn man mal wieder sowas machen muß. Zumindest, wenn es nicht ganz so kompliziert ist.

ChS hat Folgendes geschrieben:

3. Faktorringe schreibt man nicht als Bruch. Der Ring wird genau so geschrieben.

Meinst du jetzt, das ist etwas anderes als das, was ich geschrieben habe??? Quotientenringe heißen doch auch Faktorringe, soweit ich das gelesen habe. Richtig?

ChS hat Folgendes geschrieben:

5. Gefragt ist, ob (man beachte die geschweifte Klammer um den Exponenten) ein Integritätsring ist.

Sorry, hier war ein Tippfehler drin, den habe ich ausgebessert. Gemeint war x²+1.

Vielleicht hast du ja noch irgendwelche Hinweise. Kennst du (oder jemand anders) zufällig auch das Programm GAP für Gruppentheorie? Weißt du, wie man in einem Skript eine Bildschirmausgabe erzwingt? "Print(..);" gibt mir immer nur das, was in der Codezeile tatsächlich steht, nicht deren Ergebnis...

Gruß,
Markus

Ich war nur neugierig, wo die Fragen herkommen. Im Prinzip sind Fragen "von außerhalb" auch willkommen, der Fokus sollte aber auf der LMU liegen, denke ich. Für allgemeinere mathematische Fragen gibts ja andere Foren und Newsgroups.

Quotientenring ist nur ein anderes Wort für Faktorring, das ist richtig. Ich bezog mich auf die Schreibweise des Symbols , welches du als Bruch geschrieben hattest.

Bei steht immer noch die Frage: Welche Eigenschaft eines Integritätsrings könnte dieser Ring verletzten, und welche sind garantiert schon erfüllt?

Zu GAP kann ich dir nichts sagen.

Gruß,
Christian

Hallo Christian!

Danke nochmal für deine Hilfe letztens, das war wirklich sehr förderlich. Am Ende hatte ich tatsächlich fast alle Aufgaben zusammen. Wahrscheinlich sogar größtenteils richtig!

Aber nun gibt es schon wieder neue Aufgaben und bei der folgenden habe ich Probleme:

Also die Produktregel habe ich bereits gezeigt und damit auch den ersten Teil der Gleichung. Aber leider weiß ich nicht, wie ich zu dieser Determinante kommen soll. Das sieht irgendwie nach Wronski-Determinante aus, oder irre ich mich? Vielleicht reicht schon eine bestimmte Eigenschaft dieser Determinante mit Beweis, damit ich weiterkomme.

Danke für alle Hinweise!

Gruß,
Markus

Tip zur zweiten Hälfte der Gleichung: ist ein verstecktes Quadrat, vielleicht mit einem Minuszeichen davor, und ist sowieso ein Quadrat... Ziehe mal die Wurzel. Jetzt sollte etwas dastehen, was du entweder kennst (solltest du eigentlich, wenn du Wronski kennst), oder halt beweisen kannst.

Grüße,
Darij