Fragen zu Ueberabzaehlbarkeit

- Gibt es eine Bijektion von (0,1) nach [0,1]? Welche / warum (nicht)?
Wenn ja, gibt es irgendwelche ueberabzaehlbaren Teilmengen von R, die nicht gleichmaechtig sind?
- Gibt es eine Bijektion von R nach R^2 (von R^d nach R^(d+k))?
- Gibt es ein konkretes Beispiel fuer einen Hilbertraum mit ueberabzaehlbarer Orthonormalbasis?

Vielen Dank fuer sachdienliche Hinweise!

Zur Bijektion von R und R^2 siehe http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~gille/Lsg3.pdf, Aufgabe 5 i. Da hat man einen Ismomorphismus zwischen den additiven Gruppen von R und C gebastelt (Also noch mehr als Du verlangt hast). Damit dürfte auch die Bijektion R^d nach R^(d+k) klar sein.

Hallo zusammen.

Dass alle überabzählbaren Teilmengen von IR gleichmächtig sind, ist eine Behauptung, die zur Kontinuumshypothese äquivalent ist, welche in der Mengenlehre ZFC nicht entscheidbar ist, aber üblicherweise als Axiom angenommen wird.

Dass es eine Bijektion von (0, 1) nach [0, 1] gibt, kann man aber auch ohne das beweisen, indem man explizit eine konstruiert. Selbst eine zu finden, halt ich für sehr instruktiv, daher werde ich hier erstmal keine angeben.
Einfacher ist es vielleicht für den Anfang, eine Bijektion von [0, 1) nach [0, 1] zu finden.

Gruß,
Christian

ChS hat Folgendes geschrieben:

Viele Grüße
Lukas

War der Anhang damals schon da? Dann habe ich tatsächlich nicht genau genug gelesen.

ChS hat Folgendes geschrieben:

War der Anhang damals schon da? Dann habe ich tatsächlich nicht genau genug gelesen.

Ja, die Lösungen wurden im Netz bislang nie verändert.