Beweis

Hallo
wer kann mir den Beweis führen, dass für den Summenwert der geometrischen Reihe

(q hoch n) -1 / q - 1

gilt, wenn q und n Element N sind, dann ist auch der Summenwert Element N.

Danke

Du kannst den Quotienten ausrechnen:

(q^n - 1) : (q - 1) = q^(n-1) + q^(n-2) + … + q^2 + q + 1

Das dastehende Polynom liefert für natürliche q und n natürliche Werte.

was heißt denn den quotient ausrechnen, studier mathe nur im nebenfach
gruß

Ich würde das mit vollständiger Induktion beweisen, insbes. wenn Du noch relativ am Anfang Deines Mathe-Nebenfach-Studiums bist.

Weil man es leicht übersehen kann, möchte ich darauf hinweisen, dass die Behauptung so nicht stimmen kann. (Tipp: insbesondere nicht für alle .)
Insofern stimmt Dein Beweis also zumindest so schon mal nicht, Jonas, wenn ich mich nicht täusche…

Im Übrigen: könnte es denn sein, dass es hier nicht um , sondern geht?
Es wäre also vielleicht nicht schlecht, die Behauptung als Ganze hier aufzuschreiben. Dabei hilfreich wäre vielleicht, mit Summenzeichen und Indizes zu arbeiten. Das geht am besten mit :

Um das Folgende zu schreiben:

gibt man hier einfach ein:
[tex]$\forall q \in \N \text{ (??)}\,  \text{ und }\ \forall n \in \N :  \sum\limits_{i=0}^n \frac{q^i-1}{q-1} \in \N$[/tex].
Das leicht abzuändern ist hoffentlich relativ selbsterklärend bzw. durch einfaches Probieren sofort zu lernen.

Update: Do, 21. Mai, 22:25

Durch 0 darf man natürlich nicht dividieren.

Und außerdem bin ich mir gar nicht mehr sicher, ob ich die Frage beantwortet habe.

Ingo, hast du nach dem Beweis für die Summenwertformel gefragt, oder nach dem Beweis dafür, dass der Summenwert für n aus N und q>=2 natürlich ist? Oder sogar nach beidem?

Es geht wohl schon um natürliche q, sonst würde die zweite Aussage ja überhaupt keinen Sinn machen.

Ja es ging um

.

habe für alle n in für alle i abgeändert und eigentlich soll gezeigt werden dass jedes Glied der Summe aus N ist, wenn es für die summe gilt, dann gilt es doch noch nicht für jedes Glied?
Das Problem kommt aus der Produktionswirtschaft und es soll gelten dass für ein i und q aus N der obige Term auch aus N ist, damit man in als Streckungsfaktor verwenden kann

und dann gleich noch ne Frage: läuft die geometrische Reihe bei i=0 oder i=1 los

Vielen Dank

In diesem Fall ist das praktischerweise nicht wichtig, denn der erste Summand ist ja gleich null und ob man 0 nun dazu zählt oder nicht ändert ja am Wert nichts.

Für q > 1 können wir durch (q-1) dividieren und es steht da:

rc, ich stimme Dir zu, dass so einfach nicht geht, wie ich zunächst gedacht bzw. vielleicht angedeutet habe.

Und ingo, ich stimme Dir zu, dass der Beweis darüber laufen sollte/könnte, dass man beweist, dass jeder Summand dieser endlichen Summe eine natürliche Zahl ist, da dann die Summe automatisch auch eine natürliche Zahl ist.

Folgende Beweisidee, die bei mir auch klappt.
Weiterhin eine vollständige Induktion, aber nun für die Summanden, d.h.
die Behauptung mittels vollständiger Induktion zu beweisen.

- Der erste Schritt, der Induktionsanfang, ist dabei analog zu rc gerade eben.
- als Induktionsvoraussetzung (IV) benutzt man dann nicht die meistens verwendete Form “für ein gilt …”, sondern
gilt: .
- bei ist dann mittels allem Bekannten und der Induktionsvoraussetzung (IV) beweisen, dass gilt
.
Dazu ist es vorteilhaft, den Bruch “in Einzelteile zu zerlegen”.

Um klar zu machen, was ich meine, hier eine ganz ähnliche Vorgehensweise, die ich zunächst versucht habe, die aber nicht zum Ziel geführt hat, da ich sie nur für gerade n zum Funktionieren bekommen habe:
Zunächst wie gesagt obige Induktionsanfang und Induktionsvoraussetzung.
Dann der Schritt :
zu zeigen: .
(i) Sei nun n+1 gerade. Dann gilt:
.
Klar: , denn da n+1 gerade ist, ist auch , d.h. da , ist der Faktor .
Es gilt auch, dass der zweite Faktor ist, und zwar nach Induktionsvoraussetzung, denn die IV gilt ja , also auch für , wobei ja durch die Voraussetzung “n+1 gerade” automatisch gilt und trivialerweise natürlich auch erfüllt ist.

Nun haperts an Fall (ii), n+1 ungerade. Aber wie gesagt, das war ja nur als Tipp für die Vorgehensweise gedacht.

Also ich noch mal
wenn ich noch mal den Gedanken von Jonas aufgreife und den Quotient als Polynom für q>gleich2 hinschreibe dann stimmt doch was er sagt, das polynom besteht nur aus natürlichen Zahlen, oder??
denn 1 + q + q^2 …….+q^n-1 ergibt doch dann q^n - 1 / q -1 ist aus N und ich bin fertig

Gruß

Jein.
Bevor Du Jonas’ Behauptung,
,
benutzen darfst, musst Du sie ja zuerst beweisen.
Dazu würde ich wiederum einen Beweis mittels vollständiger Induktion beweisen, was bei mir auch geklappt hat.

Aber muss es wirklich Induktion sein? (Übung schadet natürlich trotzdem nicht.)
Genügt nicht die oben schon durchgeführte Summenumformung?