Anfängerproblem

Hallo,

ich bin Informatiker und habe daher keine Ahnung, aber:

Wie? :( Ich finde nur ordnungserhaltende Bijektionen (wenn ich verstanden habe was das ist) für Teilmengen von Q-{0}

Hallo!

Eine Idee ist die 0 auf einen irrationalen Punkt zu verschieben. Z.B. kannst du eine geforderte Bijektion von den positiven rationalen auf folgendermassen konstruieren (ist ein wenig kompliziert, ich hoffe jemand postet noch was einfacheres):
Sei eine Folge von rationalen Zahlen, die monoton fallend gegen konvergiert. Definiere dann fuer Funktionen durch , und dazwischen linear. Schliesslich noch fuer :

Ich denke so (oder zumindest so aehnlich) sollte es klappen

Hmm. Aber wenn ich eine rationale Zahl ins Spiel bringe, dann ist das doch keine Bijektion zwischen Q und Q-{0} mehr, oder?

Eine Sache ist mir eingefallen: wenn für eine "ordnungserhaltende Bijektion" die Ordnungsrelation für Definitions- und Zielmenge nicht die selbe Sein muss, dann ist es ganz einfach:

Auf der Definitionsmenge Q verwendet man ganz normal >= als Ordnungsrelation.

Man bildet dann jede Zahl in Q die < 0 ist auf die selbe Zahl in Q-{0} ab. Die 0 wird anders: die 0 bildet man auf 1 ab. Jetzt ist die 1 aber doppelt belegt, also bildet man die 1 von Q auf 2 ab usw... konkret bildet man also jede ganze Zahl >=0 in Q auf die jeweils nächsthöhere ganze Zahl in Q-{0} ab. Dadurch wird die 0 nicht belegt.

Jetzt stimmt natürlich die Ordnung nicht mehr. Deswegen nimmt man für Q-{0} einfach eine andere Ordnungsrelation: für alle Zahlen außer für ganze Zahlen >=0 verhält sich die neue Ordnungsrelation wie die bereits bekannte ">=" aus Q. Für die verbleibenden ganzen Zahl >=0 ist die Ordnungsrelation auf Q-{0}, nennen wir sie ">='", definiert als: "x >= y-1" (wobei >= hier wieder die bekannte Relation auf Q ist).

Klingt das sinnvoll?

Was meinst du genau, wenn du eine rationale Zahl ins spiel bringst?
Also die konstruierte Funktion soll eine oe. Bijektion

darstellen. Genau auf die gleiche Weise kann man natuerlich eine oe Bijektion

definieren. Fuegt man diese beiden Abb. zusammen erhaelt man dann wie gewuenscht eine Abb.

Also ich denke nicht, dass die Aufgabenstellung so zu interpretieren ist, dass man die Ordnung aendern darf. Dann waer sie zu trivial Dann koennte man ja auch einfach beide Mengen bijektiv auf die natuerlichen Zahlen abbilden und die induzierte Ordnung verwenden

Frankinfuter hat Folgendes geschrieben:

WFuegt man diese beiden Abb. zusammen erhaelt man dann wie gewuenscht eine Abb.

Hmm, ich verstehe das immer noch nicht: worauf bilde ich dann 0 aus Q in Q-{0} ab? Ich kann's ja nicht auf Wurzel(2) abbilden, das liegt doch nicht in Q-{0}? Oder übersehe ich da was ganz fundamentales?

Für mich bedeutete bijektiv immer einerseits, dass ich das ganze einfach "umdrehen" kann um wieder zum Ausgangszustand zu kommen (wegen der Injektivität) und dass jedem Element der Zielmenge ein Element aus der Definitionsmenge zugeordnet wird (wegen der Surjektivität), dass also aus beiden Mengen jedem Element ein Element aus der jeweils anderen Menge eineindeutig (richtiges Wort?) zugeordnet wird. Womit die ganze Sache immer vorwärts wie rückwärts funktioniert, also A->B und B->A.

Ich hatte jetzt keine Probleme eine solche oe Bijektion z.B. von Q auf Q-[0,1[ zu konstruieren, addiert man halt ab 0 einfach 1 dazu. Aber sobald nur die 0 aus der Menge entfernt wird, weiß ich nicht mehr, wo ich die einzelne 0 aus Q den hinabbilden soll, ohne die Ordnung zu zerstören.

Wenn ich das richtig verstehe sitzt die 0 bei dir bei Wurzel(2), was bei der Abbildung Q\{0} -> Q ja einleuchtet, aber soll nicht auch Q -> Q\{0} funktionieren, und da würde dann 0 bei Wurzel(2) landen, was nicht in Q\{0} liegt? Nein?

Sorry, alles Neuland für mich 8)

Das haengt von der Wahl der Folge ab, die (in diesem Fall von unten) gegen konvergiert. Wir koennten z.B. einfach die Dezimalbruchentwicklung nehmen:




Kehrt man die Funktionen aus der Konstruktion von obigem Post um, so erhaelt man Funktionen
und

In diesem Fall wird die also auf abgebildet.
Wenn man aber eine andere Folge waehlt, bekommt man auch eine andere Funktion

Puh. Hm. Wie würde das ganze denn geplottet aussehen? 8)